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數學建模解釋足球任意球問題.docx
文檔介紹:
高等數學期末大作業
數學建模之

足球任意球射門微分方程模型分析
同組人:888 999
問題背景:足球比賽中,當在大禁區邊緣發點任意球時,是否命中往往與球員射門時的出射角度,射門力度(即出球速度),和射門方向有關。下面,具體研究這一過程。
射門方向為正向對球門
問題假設:大禁區距離球門線距離為s,球門高度為H,守門員能觸及的最大高度為h,出射速度為v0,出射角度(初速度與地面的夾角)為α,空氣阻力f=kv,重力加速度為g,足球質量為m
模型構成與求解:
水平方向上,球做V0cosα為初速度的減速運動
其中有牛頓第二定律得
m d2sx/dt2=- k(ds/dt)…………………………………(1)
垂直方向上,球做豎直上拋運動初速度為v0sinα
同樣有牛頓第二定律得:
m d2sy/dt2=mg-k(ds/dt) ………………………………(2)
sy =H …………………………………………………(3)
sy =h……………………………………………………(4)
sx=s……………………………………………………(5)
sx0=0,sx/dt│t=0=v0cosα,sy/dt│t=0=v0sinα……(6)(初值)
聯立上式解該微分方程(1):
并帶入初值dsx/dt│t=0=v0cosα sx0=0
解得 sx=(k/m) v0cosα(1-e-kt/m)
同理,解微分方程(2)
m d2sy/dt2=mg-k(ds/dt) 并帶入初值dsy/dt│t=0=v0sinα以及sy0=0
解得
Sy=m/k(v0sinα+mg/k)(1-e-kt/m)-mg/k
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